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简答题 利用概率论的想法证明下面恒等式：
  • 利用巴纳赫氏问题证明。某数学家带着两盒火柴，每次用时他在两盒中任意抓一盒，从中取出一根，因此连续地抽取构成了一串p=1/2的贝努里试验。假定最初每盒火柴恰巧包含N根，我们考虑：数学家第一次发现空盒子地时刻。在这一时刻，另一盒火柴可能还有r为0，1，…，N根火柴。设从第一盒中选取为“成功”。“当发现第一盒火柴空时，第二盒中尚有r根火柴“这一事件，等价于”恰有N-r次失败发生在第N+1次成功之前“，这个事件的概率为（见巴斯卡分布）。考虑到两盒火柴所处的地位相同，可得事件”发现一盒空，另一盒中尚有r根火柴“（记为Ar）的概率为

    r取0到N的诸事件Ar之和显然是必然事件，由此可得

    两边同乘以2N并利用组合性质变形得

    令N-r=k，并注意到对应r从0变到N，而k是从N变到0，即得要证的等式

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