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简答题说明自由电子近似的基本假设。在该假设下，自由电子在一维金属晶体中如何分布？电子的波长、能量各如何分布？
  • 自由电子近似假设：自由电子在金属内受到一个均匀势场的作用，使电子保持在金属内部，金属中的价电子是完全自由的；自由电子的状态不符合麦克斯韦-波尔兹曼统计规律，但服从费米-狄拉克的量子统计规律。
    分布：电子的势能在整个长度L内都一样，当0〈x〈L时，U（x）=∞，电子在边界处势能无穷大，即当x<=0和x>=L时，U（x）=∞，以此建立一维势阱模型。一维势阱中自由电子运动状态满足的薛定谔方程为，在一维晶体中的解（归一化的波函数）为：（L为晶体长度）。在长度L内的金属丝中某处找到电子的几率为，与位置x无关，即在某处找到电子的几率相等，电子在金属中呈均匀分布。自由电子的能量：，电子波长：λ=2L/n。
    近自由电子近似基本假设：点阵完整，晶体无穷大，不考虑表面效应；不考虑离子热运动对电子运动的影响；每个电子独立的在离子势场中运动，不考虑电子间的相互作用；周期势场随空间位置的变化较小，可当作微扰处理。电子在一维周期势场中的运动薛定谔方程：，方程的解为φ（x）=eikxf（x）。自由电子近似下的E-K关系有：，为抛物线。在近自由电子近似下，对应于许多K值，这种关系仍然成立；但对于另一些K值，能量E与这种平方关系相差许多。在某些K值，能量E发生突变，即在K=±nπ/a处能量不再是准连续的。近自由电子近似下有些能量是允许电子占据的，称为允带；另外一些能量范围是禁止电子占据的，称为禁带。

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