试题详情
- 简答题 设电子在无限深势阱中运动,势阱为: 求波函数和束缚态能级。
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(1)在长方体区域内,V(r)=−V0,薛定谔方程化为:
这是一个三维偏微分方程,需要用分离变量法化为一微的微分方程组,根据分离变量的精神,令ψ(r)=X(x)Y(y)Z(z),如果解方程最后得到满足条件的一组解,那么满足薛定谔方程波函数的一般形式为这些解的线性组合。
方程的左边为x的函数右边是y和z的函数,两个函数相等(这种相等的条件与自变量无关),必须是方程两边都等于一个常数,我们设这个常数为–kx2。
方程的左边为y的函数右边是z的函数,方程两边要相等,必须有
自由电子薛定谔方程解的取法与边界条件密切相关。假定自由电子薛定谔方程满足周期性边界条件,方程将取平面波解。如果假定在边长为L的金属立方体外势能为无穷大,则方程的解取正弦余弦函数。于是有:
(2)在长方体区域外,势能无穷大,波函数为0。
在x=0的端面(平面)上,波函数连续,有:
再根据归一化条件,计算积分:
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