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简答题 （1）证明对有限方差σ2，高斯随机变量具有所有随机变量可能获得的最大微分熵。 （2）证明该熵由公式给出。
  • （1）由题意可知，高斯随机变量获得的微分熵为：

    对于有限方差σ2的高斯随机变量，即当平均功率受限时，有：

    综上可得，对于平均功率受限的连续随机变量，当服从高斯分布时具有最大微分熵。
    （2）随机变量的微分熵为：

    故（4）式即为本题所证。

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