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简答题 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=36，若平面ABC外一点P与平面A，B，C三点等距离，且P到平面ABC的距离PH为80，M为AC的中点。 （1）求证：PM⊥AC； （2）求P到直线AC的距离； （3）求PM与平面ABC所成角的正切值。
  • 点P到△ABC的三个顶点等距离，则P在平面ABC内的射影为△ABC的外心，而△ABC为直角三角形，其外心为斜边的中点。
    （1）由PA=PC，M是AC中点，则PM⊥AC；
    （2）由BC=36，则MH=18，又PH=80，则，即P到直线AC的距离为82；
    （3）由PA=PB=PC，则P在平面ABC内的射影为△ABC的外心，由∠C=90°，则P在平面ABC内的射影为AB的中点H。
    因PH⊥平面ABC，故HM为PM在平面ABC上的射影，
    则∠PMH为PM与平面ABC所成的角，所以。

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