试题详情
简答题一个星级旅馆有150个房间。经过一段时间的经营实践，经理得到数据：如果每间客房定价为160元，住房率为55%；如果每间客房定价为140元，住房率为65%；如果每间客房定价为120元，住房率为75%；如果每间客房定价为100元，住房率为85%。欲使每天收入提高，问每间住房的定价应是多少？如果为了便于管理，那么定价140元也是可以的，因为这时它与最高收入只差18.75元。
  • （1）弄清实际问题加以化简。
    经分析，为了建立旅馆一天收入的数学模型，可作如下假设：
    ①设每间客房的最高定价为160元；
    ②根据题中提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长；
    ③设旅馆每间客房定价相等。
    （2）建立数学模型。
    根据题意，设y表示旅馆一天的总收入，x为与160元相比降低的房价。
    由假设②，可得每降低1元房价，住房率增加为 10%/20=0.005因此一天的总收入为y=150（160-x（0.55+0.005x））
    由于0.55=0.005x≦1，可知0≦x≦90.
    于是问题归结为：当0≦x≦90时，求y的最大值点，即求解
    （3）模型求解。
    将左边除以（150×0.005）得y’=-x2+50x+17600
    由于常数因子对求最大值没有影响，因此可化为y’求的最大值点。利用配方法得y’=-（x-25）2+18225
    已知当x=25时y’最大，因此可知最大收入对应的住房定价为160元－25元=135元
    相应的住房率为0.55+0.005×25=67.5%最大收入为150×135×67.5%=13668.75（元）
    （4）检验。
    容易验证此收入在已知各种客房定价的对应收入中确实是最大的，这可从下面表格中看出。

    如果每间客房定价为180元，住房率为45%，其相应收入只有12150元。由此可见假设①是合理的。实际上二次函数在[0，90]之内只有一个极值点。

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